2024年12月27日，9:25，出门，打车，和司机闲聊……

大石河静静流淌，千灵山沉默无言。

一如往常，平凡的一天。

9:50～12:15。

……

上午上完三节课回到文林居，吃完午饭，一看时间，已近下午三点。

这是我给2024级《数学分析（一）》上的最后一课，也是我三十九年教育生涯的最后一课。

抓好四基 培养逻辑思维 融汇贯通 学以致用

一

基本概念

1 确界定义

2 函数定义

3 数列极限定义

4 函数极限定义

5 函数在一点处连续的定义

6 函数一致连续的定义

7 函数在一点处的导数的定义

8 函数的导数的定义

9 函数在一点处的微分的定义

10 求导的基本公式

11 求导的链式法则

12 八对等价无穷小

13 Taylor公式的四大展开

二

基本定理

提4个：确界定理，三大中值定理

三

基本方法

一）数列极限方法

1 定义

2 四则运算法则

3 迫敛性

4 单调有界定理

5 子列方法

6 Cauchy收敛准则

7 Stolz定理

8 转为函数极限

二）函数极限方法

1 定义

2 四则运算法则

3 极限与左右极限的关系

4 换元法

5 迫敛性

6 两个重要极限

7 无穷小等价量代换方法

8 单调有界定理

9 Cauchy收敛准则

10 Heine定理

11 用函数的连续性

12 用导数定义

13 L’Hospital法则

14 用Taylor公式

四

基本应用

1 求曲线的切线——求解析式函数的切线，求参数式函数的切线，求隐函数的切线，求极坐标式函数的切线

2 求变速直线运动的瞬时速度

3 函数的单调区间、极值、最值

4 应用最值问题

5 求函数的凹凸区间、拐点

6 证明不等式——用拉格朗日中值公式，用函数的单调性，用最值方法，用函数的凹凸性，用数学归纳法

7 近似计算——用微分做近似计算，用Taylor公式做近似计算

8 函数作图——通过研究函数的各种性质作出函数的草图：定义域、奇偶性、周期性、单调性、极值、最值、凹凸性、拐点、渐近线、特殊点

9 函数方程根的存在性——用连续函数的零点定理，用Rolle中值定理，通过研究函数单调性、极值等性质判断

10 证明一个复杂的函数等于一个常数

五

姚老师推荐学习方法

1 适当预习

2 做笔记

3 以方法为主线，抓好典型题

4 经常以一个综合题来折磨自己——磨概念，磨方法，磨思维

5 回头看

6 一题多解

六

回头看&一题多解举例

讲了十一个例子。

有的讲得很详细，有的讲得比较简略。

七

我是怀着理想进入这个行业的，并终身不渝，孜孜以求。

具体说，我的理想有二。

一是用我的学识，我的言行，我的辛劳，我的汗水，培养一代一代又一代学生，来影响社会，改变社会，促进社会进步，建设一个有序的、法治的、公平的社会，一个美好的社会。在这个社会里，普通人家的子弟也有上升的渠道，只要努力，就能过上美好的生活。在这个社会里，不会行行卷，人人卷。行行卷成996，卷成007；人人卷，从上卷到下，卷到幼儿园，卷到娘胎里。在这个社会里，人们不会担心食品安全，不会担心环境安全，不会担心财产安全……人们拥有最高级别的安全，就是心理安全……

……

我的另一个理想是，按我对教育的追求创办一所大学。这所大学崇尚科技，崇尚现代文明，把教育教学作为全部内容，其中包括科学逻辑，其它都是附带的工作。我父亲，民国时期，创办了一所医院。那时，尽管创业极艰难，但要创办一所医院却很容易。我想创办一所大学，却连可能性都没有……

……

不能兼济天下，但可以引以为豪的是，终其一生，我做到了独善其身，我是一个精神干净的人。

……

希望同学们都做个正直的人，追求公平正义，学出硬本事，养活好自己，养活好家庭，进一步能为社会做贡献，推动社会进步……

……

八

最近把一些片段回顾了一下。从十六七岁乘绿皮火车离开家乡，一生漂泊，走到今天。

乘绿皮火车出来的心情，特别像一首歌里所描述的。这首歌是我儿子推荐给我的。前些年我问他，给我推荐一首歌，就一首？他说，Five hundred miles.

这首歌诞生于1962年，我上大学前二十年就有了，但那时还远远没有传进来。

下面我为大家唱这首歌：

If you miss the train I’m on

You will know that I am gone

You can hear the whistle blow a hundred miles

……

七段。

刚唱完整首歌，竟哽咽。

友谊地久天长，苏格兰民歌，经典电影魂断蓝桥插曲，唱了不到两段……

老了，脆弱。

就不唱了。

李叔同的“送别”也不唱了。

九

友谊地久天长。把抄的歌单送给刘同学留念。她有事没来。

「后来她来了，一个劲地鞠躬。把歌单送给她，并在旁边写了下面的话：

我一生带过两级的班主任，1993级和2001级。

我教1993级这首歌，后来他们把这首歌作了他们的班歌。

抄这首歌赠别刘静雯同学。

姚  2024.12.27 最后一课」

把抄的李叔同的“送别”，送给余同学，并在旁边写了下面的小诗：

赠别余汝潇同学：

故都十月秋风中

象牙塔里得遇君

数月光阴倏忽过

有缘他日再相逢

姚  2024.12.27 最后一课」

十

送大家礼物

「人生是个分段函数

～～

有的阶段是sinx波澜不惊

有的阶段是R(x)捉摸不定

有的阶段是W(x)跌宕起伏

最后，都是一个常值函数

～～

既来人间一趟

就活出个人样

挑战一个个极限

接受失败也享受成功

～～

祝大家

～～

烦恼高阶无穷小

好运连续且可导

理想一定洛必达

拉格朗日天天照

～～

生活多彩不单调

道路顺畅不凸凹

快乐递增无上界

前途像[x]步步高」

最后，祝大家期末都能考出自己满意的成绩；新的一年也很快要来了，祝大家新年快乐；祝大家下个学期《数学分析（二）》、第三学期《数学分析（三）》，一切都顺顺利利；大学四年，青春无悔。

看到很多人在不断抹眼泪。

十一

杨迪上来献花。向大家介绍他，师兄。大家鼓掌。

十二

交流

最先，王昱杰同学站起来讲。他说，有这么句话，说是，一个人能遇到一位好老师是他一生的幸运。我们很幸运遇到姚老师，他不光课上得好，而且在为人处事方面对我们有很大的影响……

落落大方，头脑清楚，讲话有条理。他半期考试，100分。

之后，余汝潇同学讲了祝福我的一些话。

有位才女，用我的名字编了一首诗赠送我，有同学上来唱我没能唱完的歌曲友谊地久天长，还有同学起来和大家一起为我唱送别，还有一位女生要求和我一起唱了Five hundred miles.

好多学生，努力突破自己，在正式、隆重的场合，站起来发言，体现了很好的素养。

有好几位，有的以吐槽的方式，有的直接问，有的就直接要求，都是强烈地希望我下学期继续教他们。给大家做了解释，主要原因有二，一是我老母亲96岁了，我得回去照顾；二是我自己，身体状况也不太好。主要是第一个原因。大家表示了理解。

十三

时间到了，学生都不走。

杨迪给我们全体照了像。照相前先录了一小段，大家齐声说：祝姚老师退休快乐！

他马上有会要开，先我们走。

我收拾杯子和花正要走，老伴来轻声提醒我：学生排着队在等你签字、合影呢。

几乎所有学生，自发地排着队，一个一个地请我签字、和我合影。不少学生哭了，有学生眼睛都红了。

这完全出乎我的意料。

每个学生都跟我说几句话，表达感谢、祝福、不舍……

其中一位女生，泪眼婆娑地走到我面前，她说她来自大凉山，她以后要像我一样从事教育，毕业后回去为家乡的教育奋斗一辈子……

所有学生讲的都值得记录下来，可惜讲课讲得太累了，没能一一记住。

十四

2024级学生，是我教到的最好的一级之一。有的特别善于统筹安排时间和精力；有的很懂得自律；有的一看就给人以安静之美的感觉；有的一看就让人感到是位散发着光彩的人；有的彬彬有礼；有的尽管成绩差点，但懂礼貌，懂得努力……

这些学生是我们国家——我的中国的未来。

「我真正的归属，是历史上的、永远不停的中国。不是哪个点、哪个面，是一个文化体，那是我的中国。

那个中国里有孔子，有孟子，有董仲舒，有司马迁，有苏东坡，有杜甫，有辛弃疾，有杨万里，有范文正公，有黄山谷，有王阳明，有顾亭林，等等。

那个中国里有经书、诗词、戏曲、建筑，有人性，有人与人之间的关系。

我还可以回到那里去。

——许倬云」

十五

连续三节课，课间不休息。下课后，又持续了一个多小时。

十六

和老伴步行回文林居。

阳光朗照，天蓝如碧。这远郊山里，冬日暖阳，实在是太好了。

十七

最后一课之后，连续几天不舒服。

昨天，2024.12.31。

上午，打车到B大南门，想去B大书店买几本书。进出口都装着刷卡机，保安把守着。跟保安说，保安说不能进。他说他来半年了，一直就是这么规定的。网搜到B大保卫处的电话，打过去，铃声响了好一阵，自动挂了。很快那边打过来。还就是不能进。我说，封控都结束两年多了，其它学校都能进了，最多登记下身份证……B大以开放、包容著称，怎么反而……把谁都当……防。对方说，不是防，您可以找个熟人带进来。我说，你给保安说一声，登记一下就行了嘛……他说，上面就是这么规定的。语气一直很客气，还继续解释。不想听他毫无意义的解释，挂断电话，打车回。

下午，和学生走一趟：老校区～万寿寺～沿河渠一路到颐和园南如意门～过苏堤～到北如意门～打车到农大北边骨头庄吃羊蝎子～打车回。学生说，我们走了1万3千步。

北如意门～农大。滴哥40来岁，体面、健谈。离目的地还有一两公里时，我对滴哥说，2024就要过去了，2025就要来了，祝你新的一年万事如意，发财。

没想到一句发财，瞬间把话题搞沉重了。他说，发财是不可能的，能活着就不错了……他说他原来一直在广东干，那边找不到事做后，想着北京，大城市，应该有事做，就到北京来了……他来北京半年多了。

颇有点诧异，一直以为，那边，改开的前沿，会比这边好，比其它地方好。

……

2024，过去了。

十八

2025来了。

大清早收到网购的《全唐诗》（全彩新编本），一大箱，四大本。

追上快递哥，请他吃两个香蕉，祝他新的一年万事如意。快递哥接过香蕉，说声谢谢，转身冲进电梯。

按祖母的教导，元旦，这样的日子，得看一天书。

但愿，2025……

姚祖喜（2024.12.27&2025.1.1 文林居&自在书屋）